Теория графов граф быть знакомым

Теория графов: основные понятия и задачи

теория графов граф быть знакомым

Первые понятия теории графов 4. 2. чаев, когда это оговорено особо) считается, что вершины графа занумерованы числами. 1,2, ,n. Если {u .. 2) у любых двух членов клуба должно быть ровно 2 общих знакомых. ляются операции удаления вершин или ребер из графа (вершины .. одновременно женить нескольких юношей на знакомых им девушках. Но пути в двудольном графе чередующиеся, так что это должны быть просто m. Точки графа обозначают объекты произвольной природы, его Допустим, графы отношение G 1 и G2 обозначают одно и то же ненаправленное друг — «быть знакомым». Математический аппаратединой теории конфликта

Итак, в нашем множестве A число 1 меньше числа 2 и числа 3, а число 2 меньше числа 3. Этот факт отображаем рёбрами, имеющими направление, что показывается стрелками. Постоить граф для отображения отношения "делится нацело на" на этом множестве. В этом примере часть рёбер будут иметь направление, а некоторые не будут, то есть строим смешанный граф. Перечислим отношения на множестве: Это отношение, то есть когда число делится нацело на само себя, будем отображать в виде рёбер, которые соединяют вершину саму с.

Такие рёбра называются петлями. В данном случае нет необходимости давать направление петле. Таким образом, в нашем примере три обычных направленных ребра и четыре петли. Построить граф для отображения отношения "декартово произведение множеств". Как известно из определения декартова произведения множествв нём нет упорядоченных наборов из элементов одного и того же множества.

То есть в нашем примере нельзя соединять греческие буквы с греческими и латинские с латинскими. Этот факт отображается в виде двудольного графато есть такого, в котором вершины разделены на две части так, что вершины, принадлежащие одной и той же части, не соединены между. Нет времени вникать в решение? В агентстве по недвижимости работают менеджеры Игорь, Сергей и Пётр. Граф, отображающий данные отношения, будет так же двудольным, так как менеджер не работает с менеджером и объект не работает с объектом.

Однако, в отличии от предыдущего примера, граф будет ориентированным. В самом деле, например, Игорь работает с объектом О4, но не объект О4 работает с Игорем.

Часто, когда такое свойство отношений очевидно, необходимость давать рёбрам направления может показаться "математической тупостью".

  • Теория графов: основные понятия и задачи. Графы как структура данных
  • Мир тесен (граф)

Но всё же, и это вытекает из строгого характера математики, если отношение носит односторонний характер, то давать направления рёбрам. В приложениях отношений эта строгость окупается, например, в программах, предназначенных для планирования, где тоже применяются графы и маршрут по вершинам и рёбрам должен проходить строго в заданном направлении. Итак, получаем следующий ориентированный двудольный граф: И вновь к примерам с числами.

Построить граф, реализующий отношение, определяющее все пары чисел a и b из множества C, у которых при делении второго элемента на первый получаем частное, которое является целым числом больше 1.

Граф, отображающий данные отношения, будет ориентированным, так как в условии есть упоминание о втором и первом элементе, то есть, ребро будет направлено от первого элемента ко второму.

теория графов граф быть знакомым

Из этого однозначно понятно, какой элемент является перым, а какой вторым. В нашем графе будет 7 дуг: В этом примере рёбра дуги графа просто пронумерованы, но порядковые номера - не единственное, что можно приписать дуге. Дуге можно приписать также весы означающие, например, стоимость пересылки груза из одного пункта в. Но с весами дуг мы познакомимся позже и подробнее. Итак, получаем следующий ориентированный граф: Как мы уже знаем из теоретической вступительной части, теория графов не учитывает специфическую природу множеств и с помощью одного и того же графа можно задать отношения на множествах с самым разным содержанием.

То есть, от этого самого содержания при моделировании задачи можно абстрагироваться. Перейдём к примерам, иллюстрирующим это замечательное свойство теории графов. На кусочке шахматной доски размером 3 Х 3 размещены два белых коня и два чёрных коня так, как показано на рисунке ниже.

Можно ли переместить коней в состояние, которое изображено на следующем рисунке, не забывая, что две фигуры не могут находиться на одной клетке?

В конструируемом графе пары вершин будут связаны отношением "ход коня". То есть, одна вершина - та, из которой конь ушёл, а другая - та, в которую пришёл, а промежуточная клетка буквы "г" будет за пределами этого отношения. И всё же конструкция получилась громозкой. В ней видны клетки шахматной доски, а многие рёбра графа пересекаются. Нельзя ли абстрагироваться от физического вида шахматной доски и вообразить отношения проще?

В новом графе соседними вершинами будут те, которые связаны отношением "ход коня", а не соседние по шахматной доске рисунок ниже. Теперь легко увидеть, что ответ на вопрос этой задачи - отрицательный. В начальном состоянии между двумя белыми конями нет чёрного коня, а в конечном состоянии этот чёрный конь должен. Рёбра графа размещены так, что два находящихся рядом коня не могут перепрыгнуть друг через друга. Задача о волке, козе и капусте. На одном берегу реки находятся человек Члодка, волк Вкоза Кз и капуста Кп.

В лодке одновременно могут находиться человек и не более одного из перевозимых объектов. Человек должен перевезти на другой берег все объекты, соблюдая условие: В конструируемом графе вершины - конфигурации, а рёбра - отношение "связь одним плаваньем лодки" между конфигурациями. Конфигурация означает расположение объектов на первоначальном берегу и на противоположном берегу.

Каждая конфигурация отображается в виде A Bгде A - объекты, находящиеся на первоначальном берегу, а B - объекты, находящиеся на противоположном берегу.

Первоначальная конфигурация, таким образом, - ЧВКпКз. Например, после переправки на другой берег козы конфигурация будет ВКп ЧКз. Конечная конфигурация всегда ЧВКпКз. Теперь можем построить граф, зная уже, что означают вершины и рёбра: Разместим вершины графа так, чтобы рёбра не пересекались, а соседними были вершины, которые связаны отношением на графе. Тогда увидеть отношения будет намного проще для увеличения рисунка щёлкните по нему левой кнопкой мыши: Как видим, существуют два различных непрерывных маршрута из начальной конфигурации в конечную.

Поэтому задача имеет два различных решения и оба правильные. Теория графов и важнейшие современные прикладные задачи На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде графов моделируются весьма сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а рёбра отображают связи между компонентами.

Обычно для моделирования транспортных сетей, систем массового обслуживания, в сетевом планировании используются взвешенные графы.

Мир тесен (граф) — Википедия

Мы о них уже говорили, это графы, в которым дугам присвоены весы. Графы-деревья применяются, например, для построения деревьев решений служат для анализа рисков, анализа возможных приобретений и убытков в условиях неопределённостей. С применением теории графов разработаны и другие многочисленные математические модели для решения задач в конкретных предметных областях.

Графы и задача о потоках Постановка задачи. Имеется система водопроводных труб, представленная графом на рисунке ниже. Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами весы - пропускная способность труб. Узлы - места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S - источник воды, узел T - сток.

Требуется максимизировать объём воды, протекающей от источника к стоку. Для решения задачи о потоках можно воспользоваться методом Форда-Фулкерсона. В начале работы алгоритма поток полагается равным нулю.

теория графов граф быть знакомым

На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищется дополняющий путь, по которому поступает дополнительный поток.

У всех языков есть общие признаки: Для большинства языков характерен закон Ципфа. Также они могут быть использованы для обоснования различных гипотез о развитии языков.

Например, исходя из сходства языков делается вывод о наличии у них общего предка.

Научный форум dxdy

Однако сходство может быть вызвано влиянием языков друг на друга и заимствованием слов [35]. В семантической сети английского языка WordNet полисемия имеет огромное влияние на организацию семантического графа.

теория графов граф быть знакомым

Вершинами с высокой степенью хабамиявляются вершины, представляющие абстрактные понятия, такие как линия, голова, или круг [37]. Затем строится сеть, в которой вершины соответствуют словам, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют словам, которые в тексте расположены.

Если посчитать у сети, построенной по литературному произведению, некоторые параметры например, среднюю степень вершины, коэффициент кластеризации, корреляцию степени вершинто можно заметить, что в произведениях одного автора эти параметры изменяются в относительно небольшом диапазоне, в то время как у разных авторов эти параметры отличаются гораздо сильнее [39].

Децентрализованный алгоритм поиска[ править править код ] Если в эксперименте Стэнли Милгрэма исследователю требуется найти именно кратчайший путьто ему надо отправить письма всем своим знакомым и заставить их сделать то же.

теория графов граф быть знакомым

В результате проведения эксперимента Мир тесен было совершено поразительное алгоритмическое открытие: Подобные децентрализованные алгоритмы поиска работают также во Всемирной паутинев нейронных сетях и во множестве других областей. Следовательно, понимание алгоритмов работы децентрализованных поисковых алгоритмов обеспечит их широкое применение [43].

теория графов граф быть знакомым

Для дальнейших рассуждений необходимо сформулировать более строгое определение децентрализованного алгоритма поиска.